חוקי נגזרות: נוסחאות ודוגמאות פתורות
במקום לזכור רשימה בלי הקשר, מתחילים בזיהוי מבנה הפונקציה ורק אז בוחרים את החוק המתאים.
טבלת החוקים הבסיסיים
- (c)′ = 0
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- (u+v)′ = u′+v′
- (u·v)′ = u′v+uv′
- (u/v)′ = (u′v−uv′)/v²
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
דוגמה: בוחרים חוק לפי המבנה
f(x)=3x⁴−2x²+7
זו סכום של חזקות וקבוע. גוזרים כל איבר בנפרד:
f′(x)=12x³−4x
סדר עבודה מומלץ
- מסמנים פעולת חיבור, כפל, חילוק או הרכבה.
- מזהים פונקציות פנימיות.
- כותבים את החוק לפני ההצבה.
- מפשטים רק בסוף ובודקים תחום הגדרה.
תרגול
g(x)=5x³+4x−9
g′(x)=15x²+4
h(x)=(2x+1)³
h′(x)=6(2x+1)²
בוחרים את החוק לפי הפעולה החיצונית
ביטויים דומים למראה יכולים לדרוש חוקים שונים. התחילו במבנה, ורק אחר כך הציבו מספרים. הטבלה מציגה שלושה ביטויים המבוססים על אותם חלקים.
| ביטוי | פעולה חיצונית | תוצאה |
|---|---|---|
| x²+(x+1) | חיבור | 2x+1 |
| x²(x+1) | מכפלה | 3x²+2x |
| (x²+1)² | הרכבה | 4x(x²+1) |
בודקים לפני שמפשטים
- כתבו את הנגזרת עם הסוגריים המקוריים. כך קל לראות אם חסר גורם.
- במכפלה ודאו שיש שני מחוברים. במנה ודאו שהמכנה בריבוע ושהמינוס נשמר.
- בהרכבה סמנו את נגזרת הפנימית לפני הכפלה.
- רק אז כנסו איברים ובדקו את תחום ההגדרה המקורי.
למשל, הפונקציה (x²−1)/(x−1) מצטמצמת ל־x+1 רק כאשר x≠1. הנגזרת היא 1 בתחום הזה, אך הצמצום אינו מוסיף לפונקציה ערך בנקודה החסרה.
פתרון מלא והסבר
כלל השרשרת. הביטוי x²+3 נמצא בתוך החזקה החמישית. גוזרים מבחוץ פנימה.
מקור להעמקה: חוקי גזירה והנחותיהם ב־OpenStax.