חקירת פונקציה בעזרת נגזרת: סדר עבודה
חקירת פונקציה היא רצף של בדיקות. אם עובדים תמיד באותו סדר, קל יותר למנוע החמצה של תחום הגדרה או נקודת קיצון.
סדר הבדיקות
- תחום הגדרה.
- חיתוך עם הצירים וסימטריה אם קיימת.
- נגזרת ופתרון f′(x)=0.
- טבלת סימנים: עלייה, ירידה וסוג נקודת הקיצון.
- התנהגות בקצוות ואסימפטוטות אם נדרשות.
- שרטוט שמתאים לכל הממצאים.
דוגמה: פונקציה ריבועית
f(x)=x²−4x+3
תחום ההגדרה הוא כל המספרים. החיתוכים עם ציר x הם 1 ו־3. הנגזרת היא 2x−4 ולכן נקודה חשודה מתקבלת ב־x=2. הנגזרת שלילית לפני 2 וחיובית אחריו, ולכן זו נקודת מינימום.
Minimum: (2,−1)
בדיקת היגיון
הגרף חייב לעבור בנקודות החיתוך, לרדת עד המינימום ולעלות אחריו. אם השרטוט אינו תואם לטבלת הסימנים, חוזרים לחישוב ולא משנים את הטבלה לפי הציור.
תרגול
חקרו בקצרה את f(x)=x²−6x+8
חיתוכי x: 2,4. נקודת מינימום: (3,−1). ירידה עד 3 ועלייה אחרי 3.
חקירה מלאה של פולינום אחד
f(x)=x³−3x
נבצע חקירה קצרה שבה כל שלב בודק משהו אחר. הפונקציה פולינומית, ולכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים.
- חיתוכים: מפרקים x(x²−3)=0. חיתוכי ציר x הם −√3, 0, √3; חיתוך ציר y הוא (0,0).
- נגזרת: f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1). נקודות חשודות מתקבלות ב־x=−1,1.
- סימנים: בנקודות בדיקה −2, 0, 2 הנגזרת חיובית, שלילית, חיובית בהתאמה. לכן הפונקציה עולה לפני −1, יורדת בין −1 ל־1, ועולה אחרי 1.
- קיצון: במעבר מעלייה לירידה מתקבל מקסימום מקומי (−1,2). במעבר מירידה לעלייה מתקבל מינימום מקומי (1,−2).
כעת מסמנים את נקודות החיתוך והקיצון ומשרטטים בהתאם לתחומי העלייה והירידה. המקסימום והמינימום כאן מקומיים: הפולינום אינו חסום מלמעלה או מלמטה על כל הישר.
למה לא מסתפקים בנגזרת אפס?
עבור g(x)=x³, הנגזרת מתאפסת באפס אך אינה מחליפה סימן משלילי לחיובי או להפך. אין שם קיצון. אפס בנגזרת הוא מועמד לבדיקה, לא מסקנה סופית.
פתרון מלא והסבר
מינימום מקומי. הפונקציה עוברת מירידה לעלייה; ערך הפונקציה הוא −2.