חקירת פונקציה בעזרת נגזרת: סדר עבודה
חקירת פונקציה היא רצף של בדיקות. אם עובדים תמיד באותו סדר, קל יותר למנוע החמצה של תחום הגדרה או נקודת קיצון.
סדר הבדיקות
- תחום הגדרה.
- חיתוך עם הצירים וסימטריה אם קיימת.
- נגזרת ופתרון f′(x)=0.
- טבלת סימנים: עלייה, ירידה וסוג נקודת הקיצון.
- התנהגות בקצוות ואסימפטוטות אם נדרשות.
- שרטוט שמתאים לכל הממצאים.
דוגמה: פונקציה ריבועית
f(x)=x²−4x+3
תחום ההגדרה הוא כל המספרים. החיתוכים עם ציר x הם 1 ו־3. הנגזרת היא 2x−4 ולכן נקודה חשודה מתקבלת ב־x=2. הנגזרת שלילית לפני 2 וחיובית אחריו, ולכן זו נקודת מינימום.
Minimum: (2,−1)
בדיקת היגיון
הגרף חייב לעבור בנקודות החיתוך, לרדת עד המינימום ולעלות אחריו. אם השרטוט אינו תואם לטבלת הסימנים, חוזרים לחישוב ולא משנים את הטבלה לפי הציור.
תרגול
חקרו בקצרה את f(x)=x²−6x+8
חיתוכי x: 2,4. נקודת מינימום: (3,−1). ירידה עד 3 ועלייה אחרי 3.