איך גוזרים שבר? כלל המנה צעד אחר צעד
כאשר גם המונה וגם המכנה הם פונקציות של x, משתמשים בכלל המנה. הסדר חשוב: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה — והכול חלקי המכנה בריבוע.
נוסחת כלל המנה
אם f(x)=u(x)/v(x) ו־v(x)≠0, אז:
f′(x) = [u′(x)v(x) − u(x)v′(x)] / [v(x)]²
דרך קצרה לזכור: „נגזרת העליון כפול התחתון, פחות העליון כפול נגזרת התחתון, חלקי התחתון בריבוע”.
דוגמה 1: מנה של פולינומים
f(x) = (x² + 1) / x
- מסמנים u=x²+1 ולכן u′=2x.
- מסמנים v=x ולכן v′=1.
- מציבים: f′(x)=[2x·x−(x²+1)·1]/x².
- מפשטים: f′(x)=(x²−1)/x².
תשובה: f′(x)=(x²−1)/x², עבור x≠0.
דוגמה 2: פונקציה ליניארית חלקי פונקציה ליניארית
g(x) = (3x + 2) / (x − 4)
g′(x) = [3(x−4) − (3x+2)·1] / (x−4)² = −14 / (x−4)²
תשובה: g′(x)=−14/(x−4)², עבור x≠4.
מתי לא חייבים להשתמש בכלל המנה?
לפעמים אפשר לפשט לפני הגזירה. למשל (x²+1)/x = x + 1/x, ואז לגזור כל איבר בנפרד. שתי הדרכים אמורות לתת אותה תוצאה. לעומת זאת, אם המכנה הוא מספר קבוע, פשוט מחלקים את הנגזרת באותו מספר.
טעויות נפוצות
- להחליף את סדר החיסור במונה.
- לשכוח להעלות את כל המכנה בריבוע.
- לגזור בנפרד מונה ומכנה ולחלק ביניהם — זו אינה נוסחה נכונה.
- לא לציין ערכי x שאינם בתחום ההגדרה.
תרגול עצמי
גזרו: (x+1)/(x+2)
תשובה: 1/(x+2)²
גזרו: x/(x²+1)
תשובה: (1−x²)/(x²+1)²
מה תחום ההגדרה של 1/(x−5)?
תשובה: כל המספרים הממשיים פרט ל־x=5.
מתי אפשר לפשט לפני הגזירה?
כלל המנה תמיד זמין כשיש מנה של פונקציות גזירות והמכנה אינו אפס. לפעמים פירוק לגורמים הופך את החישוב לקצר יותר, אך אסור לאבד את תחום ההגדרה המקורי.
f(x) = (x² − 9)/(x − 3), x ≠ 3
המונה הוא (x − 3)(x + 3). לכן הפונקציה שווה ל־x + 3 בכל מקום שבו היא מוגדרת, ונגזרתה f′(x) = 1 עבור x ≠ 3. בנקודה x = 3 הפונקציה המקורית אינה מוגדרת, ולכן גם נגזרתה אינה מוגדרת שם.
תרגול: כלל המנה יחד עם כלל השרשרת
g(x) = 1/(2x + 1)²
פתרון מלא
כותבים g(x)=(2x+1)⁻². גוזרים את החזקה ומכפילים בנגזרת הביטוי הפנימי:
g′(x) = −2(2x+1)⁻³ · 2 = −4/(2x+1)³, x ≠ −½.
אפשר לקבל אותה תוצאה גם מכלל המנה, עם מונה 1 ומכנה (2x+1)². הטעות הנפוצה היא לשכוח את הכפל ב־2.
חזרו לכלל השרשרת כשיש פונקציה בתוך פונקציה, ולפישוט ביטויים באלגברה לפני צמצום שברים.
איך גוזרים שבר עם x במכנה?
כשבמונה יש מספר קבוע, אפשר לכתוב את המכנה כחזקה שלילית. עדיין שומרים על תחום ההגדרה.
f(x)=5/x²=5x⁻² → f′(x)=−10x⁻³=−10/x³, x≠0.
כשמופיע ביטוי במכנה, נדרשת גם נגזרת פנימית. לדוגמה:
g(x)=3/(2x−1) → g′(x)=−6/(2x−1)², x≠½.
תרגיל עם שתי דרכי פתרון
h(x)=(2x²−3x)/x², x≠0.
הציגו פישוט ובדיקה באמצעות כלל המנה
בפישוט מקבלים h(x)=2−3/x, ולכן h′(x)=3/x². בכלל המנה:
h′(x)=[(4x−3)x²−(2x²−3x)·2x]/x⁴
=3x²/x⁴=3/x², x≠0.
התוצאות זהות. הצמצום אינו מחזיר לתחום ההגדרה את x=0.
אם הביטוי מורכב, עברו לכלל השרשרת. לחזרה מהירה: טבלת נוסחאות נגזרת ופישוט ביטויים.