איך גוזרים שבר? כלל המנה צעד אחר צעד
כאשר גם המונה וגם המכנה הם פונקציות של x, משתמשים בכלל המנה. הסדר חשוב: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה — והכול חלקי המכנה בריבוע.
נוסחת כלל המנה
אם f(x)=u(x)/v(x) ו־v(x)≠0, אז:
f′(x) = [u′(x)v(x) − u(x)v′(x)] / [v(x)]²
דרך קצרה לזכור: „נגזרת העליון כפול התחתון, פחות העליון כפול נגזרת התחתון, חלקי התחתון בריבוע”.
דוגמה 1: מנה של פולינומים
f(x) = (x² + 1) / x
- מסמנים u=x²+1 ולכן u′=2x.
- מסמנים v=x ולכן v′=1.
- מציבים: f′(x)=[2x·x−(x²+1)·1]/x².
- מפשטים: f′(x)=(x²−1)/x².
תשובה: f′(x)=(x²−1)/x², עבור x≠0.
דוגמה 2: פונקציה ליניארית חלקי פונקציה ליניארית
g(x) = (3x + 2) / (x − 4)
g′(x) = [3(x−4) − (3x+2)·1] / (x−4)² = −14 / (x−4)²
תשובה: g′(x)=−14/(x−4)², עבור x≠4.
מתי לא חייבים להשתמש בכלל המנה?
לפעמים אפשר לפשט לפני הגזירה. למשל (x²+1)/x = x + 1/x, ואז לגזור כל איבר בנפרד. שתי הדרכים אמורות לתת אותה תוצאה. לעומת זאת, אם המכנה הוא מספר קבוע, פשוט מחלקים את הנגזרת באותו מספר.
טעויות נפוצות
- להחליף את סדר החיסור במונה.
- לשכוח להעלות את כל המכנה בריבוע.
- לגזור בנפרד מונה ומכנה ולחלק ביניהם — זו אינה נוסחה נכונה.
- לא לציין ערכי x שאינם בתחום ההגדרה.
תרגול עצמי
גזרו: (x+1)/(x+2)
תשובה: 1/(x+2)²
גזרו: x/(x²+1)
תשובה: (1−x²)/(x²+1)²
מה תחום ההגדרה של 1/(x−5)?
תשובה: כל המספרים הממשיים פרט ל־x=5.