כלל השרשרת: גזירת פונקציה מורכבת
כלל השרשרת מתאים לפונקציה שנמצאת בתוך פונקציה אחרת. גוזרים את החיצונית ומשאירים את הפנימית, ואז כופלים בנגזרת הפנימית.
איך מזהים פונקציה מורכבת?
בביטוי (3x+1)⁵, החזקה היא הפונקציה החיצונית ו־3x+1 היא הפנימית. בביטוי sin(x²), הסינוס חיצוני ו־x² פנימי.
[f(g(x))]′=f′(g(x))·g′(x)
דוגמה פתורה
y=(3x+1)⁵
- נגזרת החזקה החיצונית: 5(3x+1)⁴.
- נגזרת הפנימית: 3.
- כופלים.
y′=15(3x+1)⁴
טעות נפוצה
התשובה 5(3x+1)⁴ חסרה את נגזרת הפנימית. בדקו תמיד אם בתוך הסוגריים יש יותר מ־x בלבד.
תרגול
f(x)=(x²+2)⁴
f′(x)=8x(x²+2)³
g(x)=√(2x+5)
g′(x)=1/√(2x+5)
מזהים שכבות, ואז בודקים את הנגזרת
לפני החישוב, כתבו איזו פעולה נעשית אחרונה. בביטוי (2x−3)⁴ מחשבים תחילה את הביטוי שבסוגריים ורק אחר כך מעלים בחזקה. לכן החזקה היא השכבה החיצונית. הכפלה ב־2 בתוך הסוגריים משפיעה על קצב השינוי, ואסור לאבד אותה בגזירה.
דוגמה שנייה: שורש של ביטוי
f(x) = √(5x+4)
- הפונקציה הפנימית היא u=5x+4, ונגזרתה 5.
- הנגזרת של השורש החיצוני היא 1/(2√u).
- מחזירים את הביטוי הפנימי וכופלים ב־5: f′(x)=5/(2√(5x+4)).
הפונקציה עצמה מוגדרת כאשר x≥−4/5. נוסחת הנגזרת תקפה כאשר x>−4/5; בקצה המכנה מתאפס. תחום הפונקציה ותחום הנגזרת אינם תמיד זהים.
בדיקה עצמאית בדרך אחרת
עבור h(x)=(x+2)², כלל השרשרת נותן 2(x+2). פתיחת סוגריים נותנת x²+4x+4, שנגזרתה 2x+4. קיבלנו אותו ביטוי בשתי דרכים. זוהי בדיקה שימושית כשאפשר לפתח את הביטוי בקלות.
פתרון מלא והסבר
12(4x−1)². גוזרים את החזקה: 3(4x−1)², וכופלים ב־4.
מקור להעמקה: כלל השרשרת ב־OpenStax.