כלל המכפלה בנגזרות: הסבר ודוגמאות
כאשר שתי פונקציות תלויות ב־x ומוכפלות זו בזו, אי אפשר פשוט להכפיל את הנגזרות. משתמשים בשני איברים.
הנוסחה
(u·v)′ = u′v + uv′
גוזרים את הראשונה ומשאירים את השנייה, ואז משאירים את הראשונה וגוזרים את השנייה.
דוגמה פתורה
f(x)=x²(x+3)
- u=x², u′=2x
- v=x+3, v′=1
- f′=2x(x+3)+x²
- f′=3x²+6x
מתי אפשר לפתוח סוגריים?
בדוגמה אפשר גם לפתוח ל־x³+3x² ולגזור. שתי הדרכים חייבות להגיע לאותה תשובה. בפונקציות מורכבות, כלל המכפלה בדרך כלל שומר על מבנה ברור יותר.
תרגול
g(x)=x(x²+1)
g′(x)=3x²+1
h(x)=(2x−1)(x+4)
h′(x)=4x+7
למה לא מכפילים פשוט את הנגזרות?
חשבו על המכפלה x·x=x². הנגזרת שלה היא 2x. אילו כפלנו את נגזרות שני הגורמים, היינו מקבלים 1 — תוצאה שגויה. כלל המכפלה מתחשב בשינוי בכל אחד משני הגורמים, ולכן יש בו שני מחוברים.
דוגמה עם סימן מינוס
f(x) = (x²+1)(3x−2)
- מגדירים u=x²+1 ו־v=3x−2.
- מחשבים u′=2x ו־v′=3.
- מציבים שני מחוברים: f′=2x(3x−2)+3(x²+1).
- מפשטים: f′=9x²−4x+3.
אפשר לבדוק על ידי פתיחת המכפלה המקורית: 3x³−2x²+3x−2. גזירת הפולינום נותנת בדיוק את אותה תוצאה. ב־x=0 הנגזרת היא 3; זו בדיקה מספרית נוספת, אך התאמה בנקודה אחת לבדה אינה הוכחה לשוויון בכל התחום.
מכפלה שיש בתוכה הרכבה
בביטוי x²(x+1)³ נדרש כלל המכפלה מבחוץ וכלל השרשרת בגורם השני. מתקבל 2x(x+1)³+3x²(x+1)². אל תבחרו חוק אחד לכל התרגיל מראש: לכל חלק יכול להתאים חוק אחר.
פתרון מלא והסבר
2x. (x−1)+(x+1)=2x. אפשר לבדוק גם דרך g(x)=x²−1.
מקור להעמקה: חוקי גזירה ב־OpenStax.